Zusammenfassung meiner Doktorarbeit für Nichtphysiker

March 18, 2019 14 min read

Dies ist die deutschsprachige Zusammenfassung meiner Dissertation aus dem Jahr 2019. Sie richtet sich speziell an Leser ohne wissenschaftlichen Hintergrund.

Vorbemerkungen

Entsprechend der Promotionsordnung der Universität Stuttgart ist einer englischsprachigen Dissertation eine Zusammenfassung in deutscher Sprache beizufügen. Nun verlangt das Verfassen wissenschaftlicher Texte, deren vorrangiges Ziel ja die Wissensvermittlung ist, in der Regel eine Anpassung an die Leserschaft.

An wen richtet sich also die geforderte Zusammenfassung? An Spezialisten der behandelten Themen sicher nicht; für viele der Fachbegriffe existieren nicht einmal anerkannte deutsche Übersetzungen. Dann vielleicht an Physiker im Allgemeinen? Oder — noch weiter gefasst — Naturwissenschaftler? Auch das scheint mir, speziell im Licht der Internationalisierung praktisch aller naturwissenschaftlicher Disziplinen, nicht überzeugend. Es ist daher unwahrscheinlich, dass ein Leser, der von einer deutschen, fachlichen Zusammenfassung profitieren würde, das physikalisch-mathematische Rüstzeug besitzt ihr inhaltlich auch folgen zu können.

Um dieser Zusammenfassung zumindest ein wenig Sinnhaftigkeit zu verleihen, nehme ich mir die Freiheit, diese dediziert Nichtphysikern zu widmen, ja auch Lesern ganz ohne naturwissenschaftlichen Hintergrund.

Populärwissenschaftliche Publikationen — seien es Bücher, Dokumentationen, oder die vorliegende Zusammenfassung einer Dissertation — sind ein zweischneidiges Schwert. Zum einen sind sie essenziell, um die Naturwissenschaft in der Breite der Gesellschaft zu verankern, um Menschen an die naturwissenschaftliche Methodik heranzuführen und um allgemein für Grundlagenforschung zu werben. Aber komplexe, hoch spezialisierte Wissenschaft einem Laienpublikum verständlich darzulegen ist, abhängig vom angestrebten Resultat, kompliziert bis unmöglich. Der Grund ist eine praktisch unüberbrückbare Disparität zwischen den Bildern im Kopf des Laien und denen im Kopf des Wissenschaftlers. Die Ursache hierfür ist nicht mangelnde Intelligenz, sondern mangelnde Erfahrung. Und Erfahrung — im Gegensatz zu Wissen — kann man nicht weitergeben. Der Unterschied sind Jahre des Studiums der Physik, Jahre der Gewöhnung an die Seltsamkeiten der Quantenmechanik und die Eigenarten der Relativitätstheorie. Ich kann Ihnen die Bilder in meinem Kopf — mein Verständnis — nicht weitergeben. Seien Sie sich also dieser Grenzen bewusst, denn gefährlicher als Unwissen ist Scheinwissen. Seien Sie sich bewusst, dass die Bilder in Ihrem Kopf nur Karikaturen der meinen sind. Überstrapazieren Sie die Aussagekraft von Analogien und Bildern nicht, mögen sie noch so schön sein. Die Quantenmechanik ist nicht einfach.

Überblick

Worum geht es in meiner Dissertation? Fangen wir vorne an: Sie ist angesiedelt im Bereich der theoretischen Physik. Während Experimentalphysiker im Labor physikalische Phänomene untersuchen, konstruieren theoretische Physiker abstrakte, mathematische Modelle (mit Bleistift und Papier oder am Computer) um die Beobachtungen der Experimentalphysiker zu erklären. Dieser Ablauf ist aber nicht zwingend: Theoretiker haben eine blühende Fantasie. Nicht selten schlagen sie theoretische Modelle vor, die erst im Anschluss von Experimentatoren im Labor realisiert werden (oder auch nicht; es ist erstaunlich schwer, die Natur dazu zu bringen, das zu tun, was Theoretiker sich ausdenken). Die vorliegende Dissertation ist von dieser Art: Sie befasst sich mit theoretischen Modellen die — zumindest auf dem Papier — interessante (und nützliche) Eigenschaften haben. Bis auf eine Ausnahme wurde keines dieser Modelle bisher in Experimenten realisiert. Das klingt nicht sehr ermutigend, ist in der theoretischen Physik aber eher die Regel als die Ausnahme.

Was ist überhaupt ein Modell? In der theoretischen Physik muss man sich unter einem “Modell” einen mathematisch präzise definierten Rahmen vorstellen mit abstrakten Objekten, die ein idealisiertes, physikalisches System beschreiben. In der Regel bedient man sich mathematischer Konzepte wie Vektoren und Funktionen, um den Zustand eines physikalischen Systems abstrakt darzustellen. Diese werden dann mit Gleichungen in Beziehung zueinander gesetzt, um die zeitliche Entwicklung oder die Reaktion des Systems auf eine Störung vorherzusagen. Ein Modell erlaubt also die mathematische Beschreibung realer Prozesse und Phänomene. Modelle sind das Handwerkszeug jedes theoretischen Physikers.

Um welche Modelle geht es also? Die vorliegende Dissertation ist im Bereich der kondensierten Materie angesiedelt. Dabei handelt es sich um ein Fachgebiet der Physik, das sich mit den Eigenschaften und der Beschreibung von Materialien beschäftigt, die vergleichsweise “kalt” und “dicht” sind. Die elementaren Bausteine dieser Materialien sind Atome (oder Ionen, also elektrisch geladene Atome) und Elektronen. Wichtige Teilbereiche dieses Gebiets sind die Festkörperphysik, die z.B. kristalline Materialien oder die Halbleiter in Computern untersucht, und die Physik der Flüssigkeiten, die sich mit der Dynamik und den Turbulenzen von solchen befasst. Typische Aufgaben der Physik der kondensierten Materie sind zu erklären, wieso Metalle Strom leiten, warum Halbleiter (z.B. Silizium) es nur unter bestimmten Voraussetzungen tun oder weshalb sich Eisen magnetisieren lässt. Ein wichtiger Teilaspekt in diesem Zusammenhang sind Phasenübergänge. Phasenübergänge beschreiben die abrupte Veränderung eines Materials, wenn externe Parameter (z.B. die Temperatur oder der Druck) bestimmte kritische Werte über- oder unterschreiten. Die wohl bekanntesten Phasenübergänge sind das Gefrieren von Wasser bei 0 °C und das Verdampfen bei 100 °C. Obwohl die Bausteine — die Wassermoleküle — in allen drei Phasen dieselben sind, sind Eis, Wasser und Dampf doch völlig unterschiedlich. Solche Unterschiede zu erklären und systematisch zu erfassen ist ein zentrales Anliegen der Physik der kondensierten Materie.

Die letzten 100 Jahre der Physik wurden von zwei einflussreichen Theorien bestimmt: der Relativitätstheorie von Albert Einstein und der Quantenmechanik (verknüpft mit Namen wie Werner Heisenberg, Max Born, Erwin Schrödinger u.v.m.). Für die Physik der kondensierten Materie ist die Quantenmechanik von überragender Bedeutung, da ihr Ziel die Beschreibung vieler, atomar kleiner Bausteine bei oft sehr niedrigen Temperaturen ist. Die Relativitätstheorie hat auch ihre Auftritte, soll uns hier aber nicht weiter beschäftigen. Bei der Beschreibung von Phasen und ihren Übergängen wurde den Physikern des 20. Jahrhunderts schnell klar, dass die Seltsamkeiten der Quantenmechanik die Eigenschaften von Materie fundamental beeinflussen. Phasen, die nur bei sehr niedrigen Temperaturen auftreten und ausschließlich mit Hilfe der Quantenmechanik beschrieben werden können, nennt man Quantenphasen. Das wohl eindrücklichste Beispiel einer solchen ist die supraleitende Phase bestimmter Metalle (z.B. von Quecksilber oder Aluminium). Solche Metalle leiten bis zu einer materialspezifischen kritischen Temperatur nahe dem absoluten Nullpunkt (-273 °C) den Strom wie gewohnt (d.h. mit einem Widerstand, der zu Verlusten führt). Unterhalb der kritischen Temperatur verschwindet dieser Widerstand vollständig und Strom kann verlustfrei fließen (ein Phänomen, das z.B. bei der Kernspintomografie Anwendung findet). Diese supraleitende Phase unterscheidet sich damit fundamental von der üblichen, metallischen Phase und der Übergang zwischen beiden ist ein weiteres Beispiel für einen Phasenübergang. Die erfolgreiche Beschreibung des widerstandsfreien Ladungstransports in Supraleitern ist eine der großen Errungenschaften der Quantenmechanik und markiert einen Meilenstein in der Physik der kondensierten Materie.

Ein wichtiges Motiv der Physik ist die Verallgemeinerung. Physiker versuchen Phänomene anhand von Spezialfällen zu lernen, um sie dann mit allgemeinen Prinzipien zu erklären. Solche Verallgemeinerungen führen oft zu neuen Theorien und können die Denkweise ganzer Generationen von Physikern prägen (man spricht dann von Paradigmen). Sowohl das Gefrieren von Wasser als auch der Übergang in den supraleitenden Zustand sind Phasenübergänge. Die nahe liegende Frage eines Physikers wäre dann, ob es allgemeingültige Prinzipien gibt, die auf alle Phasenübergänge anwendbar sind. Gibt es ein allgemeines Ordnungsprinzip, das beschreibt, worin sich unterschiedliche Phasen unterscheiden? Ein solches Ordnungsprinzip wurde vom sowjetischen Physiker Lev Landau (Nobelpreis für Physik 1962) in den 1930er Jahren vorgeschlagen und maßgeblich entwickelt. Die Grundidee ist recht einfach: Unterschiedliche Phasen unterscheiden sich in ihren Symmetrien. Eine Symmetrie eines physikalischen Systems ist eine Transformation, die das System nicht verändert. Eine perfekte Kugel ist z.B. rotationssymmetrisch: Wenn man sie dreht, sieht sie immer gleich aus. Landaus Ordnungsprinzip besagt, dass sich Phasen durch ihre Symmetrien charakterisieren lassen. Am Beispiel von gefrierendem Wasser wird sofort deutlich, was gemeint ist: Während eine Flüssigkeit unter beliebigen Rotationen immer gleich aussieht, ist das bei zu Kristallen gefrorenem Wasser nicht mehr der Fall. In verallgemeinerter Form lässt sich diese Idee auf viele Phasen und Phasenübergänge anwenden — auch auf Supraleiter (dort allerdings mit einer abstrakteren Symmetrie). Landaus Ordnungsprinzip wurde unter dem Namen “spontane Symmetriebrechung” bekannt, weil Phasenübergänge dadurch gekennzeichnet sind, dass bestimmte Symmetrien einer Phase beim Übergang “spontan gebrochen” werden (z.B. bricht der Eiskristall die Rotationssymmetrie flüssigen Wassers “spontan” indem er sich in einer unbestimmten Richtung ausbildet). Die Theorie der spontanen Symmetriebrechung war so erfolgreich, dass Physiker bis in die 1960er Jahre davon überzeugt waren, dass sie im Grunde alles verstanden hatten, was es zu (Quanten-)Phasen und ihren Übergängen zu wissen gibt.

Eine neue Art von Quantenphase

Aber in den frühen 1970er Jahren verdichteten sich die Anzeichen, dass die Sache doch etwas komplizierter sein könnte. Speziell wurden (theoretische) Modelle gefunden, die Phasen mit exakt denselben Symmetrien aufweisen, obwohl diese durch einen Phasenübergang voneinander getrennt sind. Im Jahr 1980 beobachtete dann Klaus von Klitzing (Nobelpreis für Physik 1985), dass sich eine spezielle Form der Leitfähigkeit von zweidimensionalen Halbleitern nur in exakt bestimmten Schritten ändert, wenn ein starkes Magnetfeld eingeschaltet und variiert wird. Die gemessene Schrittweite ist praktisch unabhängig vom Material (selbst für Proben mit Verunreinigungen) und hängt direkt mit fundamentalen Naturkonstanten zusammen. Dieses Phänomen ist bekannt als Quanten-Hall-Effekt und markiert eine Zäsur der modernen Physik. (Der Quanten-Hall-Effekt beschreibt die quantisierte Version des klassischen Hall-Effekts; dieser ist benannt nach Edwin Hall.) Es ist völlig unverständlich wieso ein Material mit natürlichen Verunreinigungen bei Messungen perfekte Werte bestimmter Naturkonstanten liefern sollte. Physikern war eine solche “Robustheit” realer Systeme noch nicht untergekommen. Zu allem Überfluss schienen die beim Quanten-Hall-Effekt realisierten Phasen alle dieselben Symmetrien zu besitzen. Damit war es unbestreitbar, dass Landaus Ordnungsprinzip nicht ausreicht, um alle Quantenphasen beschreiben zu können.

Dank der Arbeiten theoretischer Physiker wurde schnell klar, dass ein in der Physik bis dato selten genutzter Teilbereich der Mathematik von Nöten ist, um diese Phänomene zu verstehen: die Topologie. Die Topologie befasst sich (im Gegensatz zur Geometrie) mit gegen Verformung robusten Eigenschaften von Körpern. Stellen Sie sich vor, Sie hätten eine Schnur, und Ihr Ziel sei es, sich mit ihrer Hilfe eine Zahl (sagen wir 5) zu merken. Eine mögliche Lösung wäre, die Form der Zahl “5” mit der Schnur nachzulegen; in diesem Fall wäre die Zahl in der Geometrie der Schnur codiert. Diese Methode funktioniert zwar, ist aber nicht sonderlich robust: Jede unbedachte Berührung der “5” kann ihre Form — und damit die codierte Information — zerstören. Eine weitaus cleverere Methode wäre, sich die Schnur fünfmal um den Unterarm zu wickeln und sie dann zu verknoten. So lange die Schnur nicht reißt, wird sich die Zahl der Windungen nicht ändern; selbst wenn sie sich beim Gehen ständig verformt. Die Windungszahl der Schnur ist eine topologische Eigenschaft, da sie robust gegen geometrische Deformationen ist. Es sind solche topologischen Windungszahlen, die für die robusten Leitfähigkeiten des Quanten-Hall-Effekts verantwortlich sind (nur winden sich in diesem Fall keine Schnüre, sondern mathematische sehr abstrakte Objekte, die zur quantenmechanischen Beschreibung des Systems dienen). Diese Windungszahlen von Quantenphasen werden als topologische Indizes bezeichnet; sie lassen sich üblicherweise nicht direkt messen, haben aber messbare Effekte (wie z.B. die diskreten Leitfähigkeiten). Die Windungszahlen lösen praktischerweise auch das Rätsel um die scheinbar ununterscheidbaren Phasen: Diese haben schlicht unterschiedliche topologische Windungszahlen. Da man die Windungszahlen einem Material nicht direkt ansieht (sie sind in seiner quantenmechanischen Struktur “versteckt”), scheinen diese Phasen gleich zu sein, obwohl sie es nicht sind: Wenn man versucht von einer zur anderen zu kommen, wird man einen Phasenübergang beobachten, an dem sich scheinbar nichts ändert; tatsächlich springt dort aber die Windungszahl von einer ganzen Zahl zur nächsten.

Dieses Konzept bildet die Grundlage für einen der derzeit aktivsten Bereiche der Physik und hat unsere Sicht auf mögliche Quantenphasen (und die damit einhergehenden Materialien) von Grund auf verändert. Die theoretische und experimentelle Erforschung dieser topologischen Quantenphasen ist nicht annähernd abgeschlossen. Sie ist inzwischen so taktgebend für die Physik der kondensierten Materie (und darüber hinaus), dass die theoretischen Vordenker dieser Disziplin — David Thouless, Duncan Haldane und Michael Kosterlitz — im Jahr 2016 mit dem Nobelpreis für Physik ausgezeichnet wurden. Der Übergang von Landaus Ordnungsprinzip der spontanen Symmetriebrechung zum weitaus vielfältigeren Konzept der topologischen Phasen lässt sich am ehesten mit dem Übergang vom Schwarzweiß- zum Farbfernsehen vergleichen: Die Landschaft der Quantenphasen, die noch in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts grau-in-grau war, schillert heute in allen Farben des Regenbogens. Um dem Leser eine Einordnung der Größe dieses Forschungsfeldes zu ermöglichen, sei hier darauf hingewiesen, dass alleine im Jahr 2018 über 1300 Veröffentlichungen mit dem Schlüsselwort “topologisch” im Titel gelistet sind; also zwischen 3 und 4 wissenschaftliche Artikel am Tag. Allein diese Zahlen sollten dem Leser verdeutlichen, dass das oben gezeichnete Bild die wahre Komplexität des Themas nicht annähernd widerspiegelt.

Worum geht es in meiner Dissertation?

Die vorliegende Dissertation ist ein Beitrag zum Themenkomplex der topologischen Phasen (und mindestens zwei der mit ihr verknüpften Publikationen zählen zu den 1300). An dieser Stelle bietet sich eine Bemerkung zum Entstehen und Aufbau dieses Dokuments an: Während frühe Doktorarbeiten in der Physik zumeist einen monografischen Charakter hatten, also mit einem einzigen, zusammenhängenden Problem befasst waren, findet heute die kumulative Dissertation zunehmend Verbreitung. Hierbei werden verschiedene, weitgehend unabhängige Projekte vom Doktoranden im Laufe der Promotion bearbeitet (auch in Kollaboration mit anderen) und als eigenständige Artikel veröffentlicht. Die Dissertationsschrift fasst diese schon zuvor veröffentlichten Resultate in einem Dokument zusammen und bettet sie in einen gemeinsamen Themenkomplex ein. Die vorliegende Dissertation ist von dieser Form: Kapitel 1 führt das oben erläuterte Konzept der topologischen Phasen auf einem für Masterstudenten der Physik verständlichen Niveau ein. Die anschließenden Kapitel 2, 3 und 4 bauen auf diesen Grundlagen auf und befassen sich je mit einem spezifischen Projekt. Dabei werden Details, die in den zugehörigen Publikationen aus Platzgründen gestrichen werden mussten, ebenfalls behandelt. In Kapitel 5 werden schließlich kleinere Nebenprojekte vorgestellt, die zum Teil Vorläufer oder Abkömmlinge der drei Hauptprojekte sind.

Lassen Sie mich nun die geleistete Vorarbeit nutzen, um Ihnen, zumindest in groben Zügen, einen Überblick über diese Projekte zu geben:

In Kapitel 2 definiere und analysiere ich ein neues Modell einer topologischen Phase in einer Dimension. (In der Festkörperphysik sind Modelle mit weniger als drei Raumdimensionen keine Seltenheit. Es ist durchaus möglich, eindimensionale “Drähte” künstlicher Quantenmaterialien im Labor zu erzeugen.) Die Bausteine des untersuchten Modells sind stark wechselwirkende Fermionen (denken Sie an Elektronen). Seine Eigenschaften werden mit exakten mathematischen Methoden untersucht und mit numerischen Simulationen überprüft. Die topologischen Eigenschaften des Modells manifestieren sich in einer robusten “Entartung des Grundzustandes”: Ein physikalisches System, das durch dieses Modell beschrieben wird, kann bei Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt verschiedene Zustände einnehmen, die sich nur schwer unterscheiden lassen. Diese Ununterscheidbarkeit kann man ausnutzen um das System zum Manipulieren von Qubits, den “Quantenbits” eines hypothetischen Quantencomputers, zu verwenden. Das Modell ist also nicht nur aus akademischer Sicht interessant, sondern verspricht auch die Robustheit topologischer Phasen für die Manipulation von Quanteninformation nutzbar zu machen. (Eine Idee, die nicht auf mich zurückgeht und inzwischen einen eigenen Forschungszweig begründet. Dieser befasst sich mit der theoretischen Beschreibung sogenannter topologischer Quantencomputer.)
In Kapitel 3 benutze ich das Modell einer schon lange bekannten topologischen Phase (wieder in einer Dimension) und übersetze es in einen völlig neuen Kontext. Das ursprüngliche Modell wurde eingeführt, um die Leitfähigkeit eines speziellen Polymers (Polyacetylen) besser verstehen zu können. In diesem Zusammenhang beschreibt es die Bewegung schwach gebundener Elektronen entlang eines Kohlenwasserstoffmoleküls. Nach meiner “Übersetzung” beschreibt es Photonen (also Lichtteilchen) in künstlichen Netzwerken aus Resonatoren. Diese Netzwerke “erben” die topologischen Eigenschaften des ursprünglichen Modells. Ziel ist die Konstruktion eines robusten Mechanismus zum Transport von Quanteninformation (also eine Methode, um ein Qubit zwischen zwei Punkten auf dem Chip eines Quantencomputers zu transportieren ohne es dabei zu zerstören). Die Topologie hilft dabei, indem die zum Transport genutzten Eigenschaften von möglichen Fertigungstoleranzen entkoppelt werden; ähnlich wie die Leitfähigkeit beim Quanten-Hall-Effekt wegen ihres topologischen Ursprungs von der Unordnung im System nichts mitbekommt. Bei diesem Projekt steht also die Anwendung topologischer Phasen für den Transfer von Quanteninformation im Vordergrund.
In Kapitel 4 untersuche ich eine weitere, eindimensionale topologische Phase aus Fermionen mit dem Ziel, einen skalierbaren Quantenspeicher zu konstruieren. Diese Phase ist verwandt mit dem in Kapitel 2 untersuchten Modell, allerdings einfacher theoretisch zu beschreiben. Auch experimentell ist sie leichter zu realisieren. Ihre Einfachheit macht sie zu einer der wenigen topologischen Phasen, die man (hoffentlich) in naher Zukunft in künstlichen, skalierbaren Strukturen aus Halbleitern und Supraleitern implementieren kann. Die topologische Robustheit dieser Phase macht sie zu einem möglichen Baustein eines Quantenspeichers. Der “Random-Access-Memory” (RAM) eines klassischen Computers funktioniert nur, weil er ständig auftretende Fehler aktiv korrigiert (daher verschwinden die Daten auch bei einem Stromausfall). Der in Kapitel 4 untersuchte topologische Quantenspeicher hat dasselbe Problem: Ohne aktive Fehlerkorrektur “vergisst” er das gespeicherte Qubit. Ziel des Projektes war der Entwurf eines Systems zur Fehlerkorrektur, das den Eigenheiten der topologischen Phase Rechnung trägt und zugleich skalierbar bleibt (je besser der Speicher vor Fehlern schützen soll, desto größer muss er sein; wobei “groß” hier Längen im Bereich von Mikrometern bezeichnet). Um dieses Ziel zu erreichen, wurde das Konzept sogenannter zellulärer Automaten aus dem Gebiet der Computerwissenschaften übernommen. Auch dieses Projekt behandelt demnach eine mögliche Anwendung topologischer Phasen in der Quanteninformationstechnologie; in diesem Fall das Speichern von Quanteninformation.